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Ecuaciones de movimiento

 

Si se anota la posición o el desplazamiento de un objeto que está sometido a un movimiento armónico sencillo contra el tiempo en una gráfica, como lo mostramos arriba, la curva resultante será una onda seno o senoidal que se describe en la siguiente ecuación:

donde d = desplazamiento instantáneo

D = desplazamiento máximo o pico

t = tiempo

Esta es la misma curva que la de una función senoidal trigonométrica, y se puede considerar como la mas sencilla y básica de todas las formas repetitivas de ondas. La función senoidal matemática se deriva de las longitudes relativas de los lados de un triángulo rectangular y la onda senoidal es una anotación del valor de la función senoidal contra el ángulo. En el caso de vibración, la onda senoidal se anota como una función de tiempo pero a veces, se considera que un ciclo de la onda es igual a 360 grados de ángulo. Se comentará más a cerca de este sujeto cuando trataremos el tema fase.

La velocidad del movimiento que describimos arriba es igual a la proporción del cambio del desplazamiento, o en otras palabras a que tan rápido se cambia su posición. La razon de cambio de una cantidad respecto a otra se puede describir con la derivada siguiente:

donde v = velocidad instantánea

Aqui se puede ver que la forma de la función de velocidad también es senoidal, pero ya que está descrita por el cóseno, está desplazado de 90 grados. En un momento veremos lo que eso significa.

La aceleración del movimiento que aqui se describe está definida como la proporción de cambio de la velocidad, o que tan rápido la velocidad está cambiando en cualquier momento.

donde a= aceleración instantánea.

También aqui hay que notar que la función de aceleración fué desplazada por 90 grados adicionales como lo indica el signo negativo.

Si examinamos estas ecuaciones, se ve que la velocidad es proporcional al desplazamiento por la frecuencia, y que la aceleración es proporcional al cuadrado de la frecuencia por el desplazamiento. Eso quiere decir que con un gran desplazamiento y a una alta frecuencia, resultan velocidades muy altas, y se requeririan niveles de aceleración extremadamente altos. Por ejemplo, supongamos que un objeto vibrando está sometido a un desplazamiento de 0. 1 pulgada a 100 Hz. La velocidad es igual a desplazamiento por frecuencia , o:

v = 0. 1 x 100 = 10 pulgadas por segundo.

La aceleración es igual a desplazamiento por el cuadrado de la frecuencia, o:

a = 0. 1 x (100)² = 1000 pulgadas por segundo.

Un G de aceleración es igual a 386 pulgadas por segundo, por eso la aceleración es:

Vemos ahora lo que pasa cuando subimos la frecuencia a 1000 Hz:

v = 0. 1 x 1000 = 100 pulgadas por segundo

a = 0. 1 x ( 1000)² = 100. 000 pulgadas por seg² o 259 G

Asi vemos que en la práctica las altas frecuencias no se pueden asociar con altos niveles de desplazamiento.

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